Математици са определили нова категория "цифрово деликатни" прости числа. Тези безкрайно дълги прости числа се превръщат в съставни числа по-бързо от Пепеляшка в полунощ при промяна на която и да е отделна цифра

Математици откриват нов клас "цифрово деликатни" прости числа. Въпреки че не са открили конкретни примери, изследователите са доказали съществуването на широко разпространен вид прости числа, толкова деликатни, че промяната на която и да е от безкрайните му цифри го прави съставно.

За да използваме по-кратък пример, например 101, което е просто число. Ако променим цифрите му на 201, 102 или 111 и ще получим стойности, които се делят на 3 и следователно са съставни числа. Същото се случва и с числата 294 001, 505 447 и 584 141 - те са прости числа, но с промяната само на една цифра, стават съставни.

Такива числа се наричат "цифрово деликатни прости числа" и са сравнително скорошно математическо изобретение. През 1978 г. математикът Мъри Кламкин (Murray Klamkin) се запитва дали съществуват такива числа. Въпросът му получава бърз отговор от един от най-плодовитите математици на всички времена, Пол Ердеш (Paul Erdős). Той доказва не само, че те съществуват, но и че има безкраен брой от тях – резултат, който е валиден не само за десетичната бройна система, но и за всяка бройна система. Оттогава други математици са разширили резултата на Ердеш, включително носителят на наградата "Фийлдс" Терънс Тао (Terence Tao), който доказва в статия от 2011 г., че средното разстояние между последователни цифрово чувствителни прости числа остава сравнително стабилно, тъй като самите прости числа стават наистина големи - с други думи, цифрово чувствителните прости числа няма да стават все по-редки сред тях.

Сега, с две скорошни статии, Майкъл Филасета (Michael Filaseta) от Университета на Южна Каролина разви идеята по-нататък, като измисли още по-рядък клас цифрово деликатни прости числа.

Вдъхновен от работата на Ердьош и Тао, Филасета се запитал какво би се случило, ако включим безкраен низ от нули отпред като част от простото число. В края на краищата числата 53 и ...0000000053 имат една и съща стойност; дали промяната на която и да е от тези безкрайни нули, добавени към цифрово деликатно просто число, автоматично би го направила съставно?

Филасета решава да нарече такива числа, ако приемем, че съществуват, "широко цифрово деликатни" и изследва техните свойства.

Така че, вместо 101, да съставим 000101. Стойността си остава просто число, а нулите нямат принос. Но ако променим нулите, например 000101 на 100101, сега полуичаваме съставно число, което се дели на 3. Математиците смятат, че има безброй прости числа с широка цифрова чувствителност, но досега не могат да измислят нито един реален пример. Тествали са всички прости числа до 1 000 000 000, като са добавили водещите нули и са направили изчисленията.

Не е изненадващо, че добавеното условие прави подобни числа по-трудни за намиране. "294 001 е цифрово деликатно число, но не е широко цифрово деликатно", обяснява а Пол Полак (Paul Pollack) от Университета на Джорджия, "тъй като ако променим ... 000 294 001 на ... 010 294 001, получаваме 10 294 001" – друго просто число.

Но дори без конкретни примери, Майкъл Филасета и бившият му докторант Джеремая Саутвик (Jeremiah Southwick) доказват, че такива числа съществуват в десетична бройна система (което означава числа, които използват нашата система за броене от 0 до 9; сравнете с двоична, с база 2, само с 0 и 1) и че има безкрайно много.

Самото доказателство се основава на вид логика, подобна на простите правила за деление на стероиди. Някои семейства числа, като тези, които съдържат 9 или чийто сбор се равнява на определена сума, могат да бъдат доказани като цяло и след това да бъдат разпределени в отделни "кофи". Колкото повече кофи има, толкова повече от целия гигантски набор от целочислени стойности е "покрит" от доказателството.

"Ситуацията, свързана с широко цифрово деликатни прости числа, е по-сложна, разбира се", отбелязва Стив Надис (Steve Nadis) от списание Quanta magazine. "Ще ви трябват много повече групи, нещо от порядъка на 1 025 000, и в една от тези групи всяко просто число гарантирано ще стане съставно, ако някоя от цифрите му, включително водещите му нули, се увеличи."

Това не е вид математика, която намира практическо приложение – това е теория на числата, която работи най-вече сама по себе си като начин за изследване на границите на математиката.

Ами ако вземете 101 и добавите 1, за да получите 1011? Ами ако премахнете една цифра, за да получите 10? Възможностите са цифрово неограничени.

Справка:

А remark on primality testing and decimal expansions; Terence Tao; https://arxiv.org/abs/0802.3361 

Primes that become composite after changing an arbitrary digit; Michael Filaseta and Jeremiah Southwick; Math. Comp. 90 (2021), 979-993; DOI: https://doi.org/10.1090/mcom/3593

Източници:

Mathematicians Discovered a New Kind of Prime Number, Caroline Delbert, Рopular Мechanics

Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes, Steve Nadis, Quanta magazine